在這篇文章中，我們將研究改變調(diào)制音調(diào)的幅度和頻率如何影響FM信號(hào)的帶寬。我們還將比較AM和FM方案中的調(diào)制指數(shù)。

在本系列的前面，我們研究了單頻信息信號(hào)產(chǎn)生的FM波的頻譜。在本文中，我們將通過(guò)分析調(diào)制信號(hào)的頻率和幅度對(duì)音調(diào)調(diào)制FM波頻譜的影響來(lái)繼續(xù)討論。在文章的最后，我們還將看看AM和FM中的調(diào)制指數(shù)參數(shù)是如何相互不同的。

調(diào)頻調(diào)頻頻譜

圖1顯示了當(dāng)載波振幅為1時(shí)，音調(diào)調(diào)制FM波的典型頻譜。

單音消息信號(hào)的FM信號(hào)的典型頻譜。

圖1 單音消息信號(hào)的FM信號(hào)的典型頻譜

頻譜包括由調(diào)制頻率（fm）分隔的不同音調(diào)。這些音調(diào)出現(xiàn)在載波頻率（fc）和邊帶頻率fc±fm、fc±2fm、fc？fm等處。第n邊帶的幅度由第一種貝塞爾函數(shù)Jn（β）縮放，其中β表示調(diào)制指數(shù)。

調(diào)制指數(shù)由下式給出：

方程式1

其中：

Am是調(diào)制信號(hào)的振幅

kf是頻率偏差常數(shù)

Δf是最大頻率偏差。

在上面的方程中，我們看到β與Δf成正比，與fm成反比。由于這兩個(gè)參數(shù)影響β，因此可以合理地假設(shè)它們也影響fm信號(hào)的帶寬。在本文的下兩節(jié)中，我們將測(cè)試這一假設(shè)——首先是峰值頻率偏差，然后是調(diào)制頻率。

調(diào)頻波的帶寬如何隨頻率偏差而變化？

考慮一個(gè)由4Hz正弦信號(hào)頻率調(diào)制的2kHz載波。如果峰值頻率偏差為Δf=20Hz，則調(diào)制指數(shù)為β=5。圖2是通過(guò)對(duì)調(diào)制信號(hào)進(jìn)行FFT得到的，顯示了載波頻率（fc=2 kHz）附近的輸出頻譜。

當(dāng)Δf=20 Hz、FM=4 Hz和β=5時(shí)，調(diào)頻調(diào)頻波的頻譜。

圖2 當(dāng)Δf=20 Hz、FM=4 Hz和β=5時(shí)，調(diào)頻調(diào)頻波的頻譜

對(duì)該輸出頻譜的目視檢查表明，信號(hào)的帶寬符合卡森定律。應(yīng)用卡森規(guī)則，信號(hào)的帶寬估計(jì)為：

方程式2

在本節(jié)中，我們將保持fm不變，并改變峰值頻率偏差（Δf）。我們將從將頻率偏差加倍到Δf=40 Hz開(kāi)始。應(yīng)用方程式1，我們現(xiàn)在有β=10。圖3顯示了最終的輸出光譜。

當(dāng)Δf=40 Hz、FM=4 Hz和β=10時(shí)，調(diào)頻調(diào)頻波的頻譜。

圖3 當(dāng)Δf=40 Hz、FM=4 Hz和β=10時(shí)，調(diào)頻調(diào)頻波的頻譜

我們?cè)俅问褂每ㄉ?guī)則來(lái)計(jì)算帶寬：

方程式3

這比我們之前的值大得多。比較圖2和圖3，我們可以看到輸出頻率分量之間的間距保持不變。這是因?yàn)橐粽{(diào)分離是由恒定的調(diào)制頻率決定的。然而，Δf加倍會(huì)使調(diào)制指數(shù)加倍。這增加了重要邊帶的數(shù)量，從而增加了帶寬。

最后，讓我們將Δf增加到80 Hz。當(dāng)fm=4 Hz時(shí)，我們得到β=20，帶寬為：

方程式4

這種情況下的輸出頻譜如圖4所示。

當(dāng)Δf=80 Hz、FM=4 Hz和β=20時(shí)，調(diào)頻調(diào)頻波的頻譜。

圖4 當(dāng)Δf=80 Hz、FM=4 Hz和β=20時(shí)，調(diào)頻調(diào)頻波的頻譜

在固定的調(diào)制頻率下，輸出頻率分量之間的間距再次保持不變。正如預(yù)期的那樣，增加頻率偏差會(huì)增加帶寬。如果fm比Δf小，我們有：

方程式5

這意味著帶寬幾乎與Δf成正比。

調(diào)頻波的帶寬如何隨調(diào)制頻率而變化？

接下來(lái)，讓我們看看如果我們保持頻率偏差（Δf）恒定，但改變調(diào)制頻率（fm）會(huì)發(fā)生什么。Δf=20 Hz、fm=4 Hz和β=5的輸出頻譜如圖5所示。

Δf=20 Hz、FM=4 Hz和β=5的調(diào)頻調(diào)頻波頻譜。

圖5 Δf=20 Hz、FM=4 Hz和β=5的調(diào)頻調(diào)頻波頻譜

請(qǐng)注意，這些值與我們?cè)趫D2中使用的值相同。光譜看起來(lái)略有不同，因?yàn)閤軸上顯示了不同的范圍。

如果我們將調(diào)制頻率降低到fm=2 Hz，我們得到了圖6中的頻譜。

Δf=20 Hz、FM=2 Hz和β=10的FM波譜。

圖6 Δf=20 Hz、FM=2 Hz和β=10的FM波譜

正如我們之前提到的，將fm減半會(huì)使調(diào)制指數(shù)加倍，達(dá)到β=10。因此，重要邊帶的數(shù)量增加了。然而，由于fm決定了頻率分量之間的間距，邊帶會(huì)彼此靠近。由于這種雙重效應(yīng)，我們預(yù)計(jì)調(diào)頻帶寬會(huì)隨著調(diào)制頻率的變化而略有變化。

讓我們用卡森法則來(lái)驗(yàn)證這一點(diǎn)?；叵胍幌?，對(duì)于Δf=20 Hz和fm=4 Hz，我們有：

方程式6

當(dāng)fm=2 Hz時(shí)，我們得到：

方程式7

請(qǐng)注意Δf和fm如何以不同的方式與帶寬相互作用：Δf對(duì)帶寬有很大的影響，但fm的影響很小。例如，在我們的第一組模擬中，20 Hz的峰值頻率偏差對(duì)應(yīng)于48 Hz的帶寬。當(dāng)我們將頻率偏差加倍到Δf=40 Hz時(shí)，帶寬也幾乎加倍了——我們從BW=48 Hz變?yōu)锽W=88 Hz。相比之下，將fm減半只會(huì)略微降低帶寬（從48 Hz降低到44 Hz）。

在最后一次模擬中，我們將把調(diào)制頻率降低到fm=1 Hz。這產(chǎn)生了圖7中的光譜。

Δf=20 Hz、FM=1 Hz和β=20時(shí)的FM波頻譜。

圖7 Δf=20 Hz、FM=1 Hz和β=20時(shí)的FM波頻譜

我們現(xiàn)在的帶寬為：

方程式8

這僅略小于之前的值。如果我們比較我們?yōu)樽詈笕齻€(gè)數(shù)字計(jì)算的帶寬，我們發(fā)現(xiàn)減少fm會(huì)導(dǎo)致頻率分量擠進(jìn)固定頻率區(qū)間：

方程式9

大β值時(shí)的FM帶寬

在我們繼續(xù)之前，讓我們看看當(dāng)β接近無(wú)窮大時(shí)FM帶寬的特殊情況。我們使用與之前相同的公式確定FM帶寬：

方程式10

對(duì)于較大的β值，F(xiàn)M波的帶寬接近2Δf。您可以通過(guò)檢查圖4和圖7來(lái)驗(yàn)證這一點(diǎn)，這兩個(gè)圖都對(duì)應(yīng)于調(diào)制指數(shù)β=20。

調(diào)制指數(shù)：AM與FM

最后，我想對(duì)比一下AM和FM方案的調(diào)制指數(shù)參數(shù)。如果我們比較由下式給出的調(diào)頻信號(hào)：

方程式11

下面再現(xiàn)了傳統(tǒng)的AM信號(hào)方程：

方程式12

我們觀察到參數(shù)β和μ在各自的調(diào)制方案中起著類(lèi)似的作用。在這兩種情況下，它們都控制著調(diào)制量。然而，它們也顯示出顯著的差異：雖然FM的帶寬取決于β，但AM的帶寬與μ無(wú)關(guān)。

此外，回想一下，β與調(diào)制信號(hào)的幅度（Am）成正比，與調(diào)制信號(hào)頻率（fm）成反比。因此，F(xiàn)M波的帶寬取決于Am和FM。Am方案中的情況并非如此。

對(duì)于AM，當(dāng)消息信號(hào)的最大值不超過(guò)1時(shí)，我們通常會(huì)強(qiáng)制約束μ≤1以簡(jiǎn)化接收器。這使我們能夠使用簡(jiǎn)單的包絡(luò)檢波器進(jìn)行解調(diào)。為了獲得最佳結(jié)果，選擇盡可能接近單位的μ以最大化恢復(fù)的消息信號(hào)的幅度是有益的。

較大的β也會(huì)導(dǎo)致FM中恢復(fù)的消息信號(hào)更強(qiáng)。雖然在傳統(tǒng)AM中選擇μ≤1，但FM方案不會(huì)對(duì)β的最大值施加這種約束。相反，F(xiàn)M出于另一個(gè)原因?qū)Ζ率┘恿思s束：調(diào)制波的占用帶寬。從方程10中，我們知道大β的FM波帶寬約為BW=2Δf=2βFM。因此，對(duì)于給定的調(diào)制頻率，β的最大值由允許的頻率帶寬決定。

總結(jié)

在這篇文章中，我們研究了Δf和fm的變化如何影響調(diào)頻調(diào)頻信號(hào)的帶寬。通過(guò)一系列模擬，我們發(fā)現(xiàn)Δf的變化極大地影響了帶寬。相比之下，改變形式的影響相對(duì)較小。我們還了解到，對(duì)于較大的β值，F(xiàn)M波的帶寬接近2Δf。

最后，我們比較了AM和FM方案中的調(diào)制指數(shù)。在傳統(tǒng)的AM中，我們通常使用小于或等于1（μ≤1）的調(diào)制指數(shù)來(lái)簡(jiǎn)化接收器。然而，在FM中，調(diào)制指數(shù)的最大值由允許的FM帶寬決定。