在這篇文章中，我們將使用相量圖來比較窄帶調(diào)頻和傳統(tǒng)調(diào)幅。我們還將討論振蕩器相位噪聲的問題，并通過一個(gè)示例問題來解決。

本系列的前一篇文章向我們介紹了窄帶角度調(diào)制：以低調(diào)制指數(shù)為特征的頻率調(diào)制（FM）和相位調(diào)制（PM）。在本文中，我們將深入研究單頻調(diào)制輸入的窄帶角度調(diào)制。由于其更好的噪聲性能，我們將主要關(guān)注調(diào)頻。然而，一旦我們完成了這部分討論，我們還將花一些時(shí)間研究相位噪聲形式的窄帶調(diào)頻。

窄帶角度調(diào)制信號綜述

讓我們首先回顧一下我們在前面的文章中學(xué)到的東西。具有恒定幅度的角度調(diào)制信號可以用以下方程表示：

方程式1

其中：

Ac是載波振幅

fc是載波頻率

t是時(shí)間

?（t）是相位偏差。

方程式2和3分別顯示了PM和FM方案中?（t）與消息信號之間的關(guān)系：

方程式2

方程式3

其中：

m（t）是消息信號

kp是比例常數(shù)

kf是相位偏差常數(shù)。

窄帶調(diào)頻是指|?（t）|遠(yuǎn)小于1弧度的特殊情況。在這種情況下，方程式1可以近似為：

方程式4

正如我們在上一篇文章中所了解到的，窄帶PM和FM方案占用的最大帶寬是消息帶寬的兩倍。雙邊帶調(diào)幅（AM）方案也是如此。

單頻調(diào)制輸入的窄帶調(diào)頻

考慮與以下消息信號對應(yīng)的窄帶FM波：

方程式5

應(yīng)用方程式3，發(fā)現(xiàn)?（t）為：

方程式6

通過結(jié)合方程4和6，我們得到調(diào)制信號：

方程式7

使用標(biāo)準(zhǔn)三角恒等式，可以將其改寫為：

方程式8

上述方程中的第一項(xiàng)在±fc處產(chǎn)生兩個(gè)脈沖，這意味著載波存在于輸出頻譜中。方括號內(nèi)的術(shù)語在以下所有頻率下產(chǎn)生脈沖：

fc+fm

–（fc+fm）

fc–fm

–（fc–fm）

輸出頻譜如圖1（b）所示。

單頻調(diào)制輸入（a）和相應(yīng)的窄帶FM信號（b）的頻譜。

圖1 單頻調(diào)制輸入（a）和相應(yīng)的窄帶FM信號（b）的頻譜

窄帶調(diào)頻與傳統(tǒng)調(diào)幅

讓我們看看上述頻譜與傳統(tǒng)AM信號的頻譜相比如何?；叵胍幌?，傳統(tǒng)AM是使用以下方程式生成的：

方程式9

您可以很容易地驗(yàn)證對應(yīng)于m（t）=Amcos（2πfmt）的傳統(tǒng)AM波具有圖2（b）所示的頻譜。

單頻調(diào)制輸入（a）和相應(yīng)的常規(guī)AM信號（b）的頻譜。

圖2 單頻調(diào)制輸入（a）和相應(yīng)的常規(guī)AM信號（b）的頻譜

比較圖1和圖2，我們可以看到窄帶調(diào)頻和傳統(tǒng)調(diào)幅都產(chǎn)生了相同的頻率分量。然而，這些組件之間的相位關(guān)系是不同的。使用FM時(shí)，±（fc–FM）處的下邊帶相位符號相對于上邊帶反轉(zhuǎn)

為了更好地理解這一點(diǎn)，讓我們比較兩種調(diào)制方案的相量圖。圖3（a）顯示了傳統(tǒng)AM產(chǎn)生的三個(gè)頻率分量的相量圖；圖3（b）為窄帶調(diào)頻提供了相同的信息。

傳統(tǒng)AM（a）和窄帶FM（b）方案的相量圖。

圖3 傳統(tǒng)AM（a）和窄帶FM（b）方案的相量圖

在AM和窄帶FM中，邊帶相量以消息信號頻率的速率沿相反方向旋轉(zhuǎn)。在AM中，邊帶以這樣的方式旋轉(zhuǎn)，即合成矢量始終與載波對齊。因此，邊帶的存在僅改變調(diào)制信號的幅度。

然而，對于窄帶調(diào)頻，兩個(gè)邊帶矢量之和產(chǎn)生一個(gè)垂直于載波的矢量。這個(gè)垂直分量產(chǎn)生頻率（和相位）調(diào)制，而不是幅度調(diào)制。

最后，根據(jù)圖3，人們可能會認(rèn)為整個(gè)FM信號的幅度不是恒定的。根據(jù)相量圖，F(xiàn)M邊帶矢量的旋轉(zhuǎn)導(dǎo)致合成矢量的幅度變化，從而導(dǎo)致整個(gè)FM信號的變化。事實(shí)上，這種明顯的矛盾源于我們推導(dǎo)方程4的近似值。如果沒有任何近似值，總矢量和的幅度將完全恒定。

示例：FM和AM組合調(diào)制

有時(shí)，當(dāng)瞄準(zhǔn)AM調(diào)制時(shí)，電路缺陷可能會導(dǎo)致窄帶FM和AM的混合。這在頻譜分析儀上顯示為振幅不等的兩個(gè)邊帶。因?yàn)锳M和窄帶FM的下邊帶具有相反的符號，所以下邊帶的幅度較小。這種類型的輸出頻譜如圖4所示。

窄帶調(diào)頻和調(diào)幅共同影響產(chǎn)生的不相等邊帶。

圖4 窄帶調(diào)頻和調(diào)幅共同影響產(chǎn)生的不相等邊帶

利用我們迄今為止所學(xué)到的知識，讓我們找到AM信號的調(diào)制指數(shù)（μ）。我們假設(shè)這個(gè)頻譜是由m（t）=cos（2πfmt）的單個(gè)頻率輸入生成的。

我們不會深入研究數(shù)學(xué)細(xì)節(jié)，但通過一些近似，我們還可以假設(shè)窄帶FM和傳統(tǒng)AM的邊帶同時(shí)存在。使用圖1和圖2中提供的信息，我們得到了組合下邊帶的振幅：

方程式10

請注意，由于預(yù)期的調(diào)制是AM，因此假設(shè)FM邊帶的影響較小。

對于上邊帶，我們有：

方程式11

通過將方程式10和11相加，我們得到：

方程式12

請注意，載波分量的振幅為Ac/2=1。此外，當(dāng)輸入為m（t）=cos（2πfmt）時(shí)，我們得到Am=1。將這些值代入方程式12中，得到μ=0.8或80%的AM調(diào)制指數(shù)。

了解振蕩器相位噪聲

上面，我們討論了一個(gè)無意中發(fā)生窄帶調(diào)頻的情況。在我們結(jié)束這篇文章之前，讓我們了解一下無意的窄帶相位調(diào)制（PM）。

這種現(xiàn)象被稱為相位噪聲，通常發(fā)生在振蕩器等電路中。方程13描述了理想振蕩器的輸出，它是完全周期性的：

方程式13

在這種理想情況下，波形的過零點(diǎn)出現(xiàn)在2π/ωc的精確整數(shù)倍處。然而，在現(xiàn)實(shí)中，有確定性和隨機(jī)性因素會改變過零點(diǎn)。確定性因素包括（但不限于）：

溫度波動。

電源電壓變化。

物理振動。

濕度變化。

附近的磁場。

隨機(jī)因素是振蕩器電路內(nèi)擾亂過零點(diǎn)的電噪聲源。為了考慮這些擾動，可以將振子方程修改為：

方程式14

其中?n（t），稱為相位噪聲，是一個(gè)小的隨機(jī)值。

請注意，上述方程與相位調(diào)制的定義相匹配。假設(shè)|?n（t）|遠(yuǎn)小于1弧度，我們可以將窄帶角度調(diào)制討論中的見解應(yīng)用于相位噪聲現(xiàn)象。例如，考慮到PM和FM方案之間的密切關(guān)系，方程14意味著振蕩頻率略微偏離其理想值。

此外，對于|?n（t）|?1，vosc（t）的頻譜包括fc處的沖激函數(shù)和轉(zhuǎn)換為fc中心頻率的981'n（t）頻譜的副本。圖5提供了一個(gè)說明性但可能不切實(shí)際的例子，顯示了如何將?n（t）的頻譜副本轉(zhuǎn)換為fc的中心頻率。

相位噪聲（a）和振蕩器輸出（b）的頻譜。

圖5 （a）?n（t）的頻譜和（b）振蕩器輸出的頻譜

上圖5（a）顯示了?n（t）的光譜。圖5（b）描繪了假設(shè)滿足窄帶條件時(shí)振蕩器輸出的頻譜。圖6展示了一個(gè)更為真實(shí)的振蕩器頻譜示例。

振蕩器頻譜的一個(gè)更現(xiàn)實(shí)的例子。

圖6振蕩器頻譜的一個(gè)更現(xiàn)實(shí)的例子

請注意，不顯示載波電平。相反，使用單位dBc，表示噪聲水平相對于載波水平歸一化。

從我們之前對窄帶角度調(diào)制的討論中，我們知道圖6中的負(fù)斜率代表了?n（t）在頻域中的行為。如上述示例所示，相位噪聲往往變化緩慢，其大部分能量集中在低頻。

假設(shè)我們使用由噪聲振蕩器驅(qū)動的混頻器，如方程14所述的混頻器，對角度調(diào)制波進(jìn)行下變頻。我們將看到振蕩器的相位噪聲直接改變了輸出信號的信息分量。為了驗(yàn)證相位噪聲是否滿足窄帶條件，我們可以使用測量的振蕩器頻譜計(jì)算?n（t）的均方根值（如圖6所示）。如果RMS值明顯小于1弧度，則可以認(rèn)為是窄帶。

一個(gè)未解決的例子：使用窄帶調(diào)頻來理解電路非線性

在這篇文章中，我們比較了單頻正弦波的FM和AM調(diào)制。我們觀察到，在AM和窄帶FM中，邊帶相對于載波的角旋轉(zhuǎn)是不同的。最后，我想舉一個(gè)B.Razavi的“RF Microelectronics”中的有趣例子，供您自己解決。

問題始于圖7中的差速器對。該電路充當(dāng)硬限制器。

一種用作硬限幅器的差分對放大器，在任何給定時(shí)間產(chǎn)生兩種可能的輸出電平之一。

圖7 一種用作硬限幅器的差分對放大器，在任何給定時(shí)間產(chǎn)生兩種可能的輸出電平之一

施加到電路的輸入由fc處振幅為a的大正弦曲線和fc+fm處振幅為a的小正弦曲線組成。如圖8（a）所示。

施加到差分對的輸入頻譜（a）和輸出頻譜（b）。

圖8 施加到差分對的輸入頻譜（a）和輸出頻譜（b）

假設(shè)A足夠大，使差分對充當(dāng)硬限制器，從而在任何給定時(shí)間產(chǎn)生兩個(gè)不同的輸出電平。換句話說，A足夠大，可以在任何給定時(shí)間將國際空間站完全引導(dǎo)到差分對的一個(gè)分支。解釋為什么輸出頻譜應(yīng)由fc和fc±fm的三個(gè)分量組成，邊帶顯示相反的符號，如圖8（b）所示。

提示：請注意，輸入可以表示為AM波和FM波的組合。此外，考慮硬限幅器如何響應(yīng)每種類型的AM和FM信號。