本文通過一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，研究了低調(diào)制指數(shù)下調(diào)頻（FM）和調(diào)相（PM）波的頻譜。

正如我們從本系列的早期文章中所知，角度調(diào)制有兩種形式：相位調(diào)制（PM）和頻率調(diào)制（FM）。為了有效地傳輸和接收任何一種信號(hào)，了解調(diào)制波所占用的帶寬至關(guān)重要。我們將具有低調(diào)制指數(shù)的角度調(diào)制波稱為“窄帶”?！?/p>

在這篇文章中，我們將通過探索這些窄帶信號(hào)產(chǎn)生的頻譜來推進(jìn)我們對(duì)角度調(diào)制的討論。在此過程中，我們將介紹一些概念，這些概念不僅是理解FM和PM波帶寬要求的基礎(chǔ)，也是分析某些RF電路線性性能的基礎(chǔ)。

角度調(diào)制信號(hào)綜述

恒定振幅、角度調(diào)制信號(hào)由以下方程表示：

方程式1

其中：

Ac是載波振幅

fc是載波頻率

?（t）是相位偏差。

方程式2說明了PM方案中?（t）與消息信號(hào)之間的關(guān)系：

方程式2

其中m（t）是消息信號(hào)，kp是調(diào)制指數(shù)。

方程式3對(duì)FM方案也是如此：

方程式3

鑒于消息信號(hào)是正弦函數(shù)的自變量，很明顯調(diào)制波對(duì)消息信號(hào)的依賴是非線性的。

窄帶角度調(diào)制波

我們之前將“窄帶”定義為低調(diào)制指數(shù)。更確切地說，該術(shù)語適用于|?（t）|遠(yuǎn)小于1弧度的特殊情況。為了推導(dǎo)窄帶角度調(diào)制波的方程，我們首先通過應(yīng)用基本三角恒等式來展開方程

方程式4

如果|?（t）|遠(yuǎn)小于1弧度，我們可以使用以下近似值：

方程式5

調(diào)用這些近似值，方程式4簡(jiǎn)化為：

方程式6

該表達(dá)式類似于傳統(tǒng)幅度調(diào)制（AM）的方程，如下所示：

方程式7

在窄帶角度調(diào)制波和傳統(tǒng)AM中，同相分量都包含大量未調(diào)制載波。對(duì)于AM，同相分量還包括消息信息。對(duì)于窄帶角度調(diào)制信號(hào)，消息信息包含在正交分量中。

為了確定角度調(diào)制波的頻譜，我們將傅里葉變換應(yīng)用于方程6，得到：

方程式8

如果你很難推導(dǎo)出前面的方程，請(qǐng)記住正弦函數(shù)可以寫成：

方程式9

此外，傅里葉變換的頻移特性表明，如果X（f）是X（t）的傅里葉變換，則我們有：

方程式10

使用方程式9和10，您可以很容易地推導(dǎo)出窄帶角度調(diào)制波的輸出頻譜。然而，在本文的其余部分，我們將繼續(xù)使用方程式8。

示例：比較窄帶角度調(diào)制和AM光譜

為了了解窄帶FM和PM波產(chǎn)生的頻譜，讓我們考慮圖1（a）中的消息信號(hào)頻譜。該頻譜對(duì)應(yīng)于時(shí)域中的sinc函數(shù)。

正弦消息信號(hào)（a）和相應(yīng)的傳統(tǒng)AM波（b）的頻譜。

圖1 正弦消息信號(hào)（a）和相應(yīng)的傳統(tǒng)AM波（b）的頻譜

將方程7應(yīng)用于該消息信號(hào)會(huì)產(chǎn)生傳統(tǒng)的AM波，其頻譜如圖1（b）所示。接下來，讓我們找到窄帶PM和FM方案生成的光譜。

窄帶PM光譜

圖2（b）顯示了與圖1（a）的消息信號(hào)相對(duì)應(yīng)的PM波的頻譜。根據(jù)方程式2，?（t）的光譜如圖2（a）所示。

PM方案的相位偏差頻譜（a）和相位調(diào)制波頻譜（b）。

圖2 PM方案（a）的?（t）頻譜和sinc消息信號(hào)（b）的PM波頻譜

將圖2（b）與圖1（b）進(jìn)行比較，我們觀察到這兩個(gè)頻譜在±fc處都具有沖激函數(shù)，并且包含消息頻譜的副本。然而，對(duì)于大于零的頻率，窄帶PM頻譜乘以系數(shù)j，對(duì)于f<0的頻率，乘以–j。

系數(shù)±j表示相對(duì)于載波頻率的90度相移。載波具有實(shí)值，因?yàn)樗诜匠?的同相分量中。相比之下，消息信息具有復(fù)雜的值，因?yàn)樗挥谡环至恐小?/p>

圖3中的3D圖提供了圖2（b）中光譜的更準(zhǔn)確表示。

PM波頻譜的3D表示。

圖3 示例PM波頻譜的3D表示

窄帶調(diào)頻頻譜

為了找到窄帶FM光譜，我們首先通過對(duì)方程3應(yīng)用傅里葉變換來確定?（t）的光譜。利用傅里葉變換的積分性質(zhì)，我們得到：

方程式11

請(qǐng)注意，函數(shù)積分的傅里葉變換會(huì)生成脈沖函數(shù)。為了簡(jiǎn)單起見，在上述方程中忽略了該脈沖函數(shù)。

圖4顯示了根據(jù)方程式11從M（f）推導(dǎo)Φ（f）的過程。

圖4 FM波頻域頻譜的3D圖示

圖4 FM方案的Φ（f）頻譜，如3D所示。由于積分，Φ（f）的譜在虛平面內(nèi)呈截?cái)嚯p曲線的形式。當(dāng)應(yīng)用窄帶角度調(diào)制方程時(shí)，該虛分量乘以因子Ac/2j，將其轉(zhuǎn)換回實(shí)分量。然后，我們得到圖5（b）所示的窄帶調(diào)頻頻譜。

FM方案的相位偏差頻譜（a）和窄帶FM波本身的頻譜（b）。

圖5 FM方案（a）的?（t）頻譜和窄帶FM波（b）的頻譜

因?yàn)楫?dāng)應(yīng)用窄帶FM方程時(shí)，Φ（f）的虛分量會(huì)恢復(fù)為實(shí)分量，所以我使用2D圖來表示最終的頻譜。

窄帶角度調(diào)制波的帶寬

在上述示例中，窄帶PM和FM方案占用2B的帶寬，其中B是消息帶寬。讓我們看看我們是否可以利用這一點(diǎn)得出一些關(guān)于窄帶角度調(diào)制信號(hào)帶寬的一般結(jié)論。

我們知道窄帶角度調(diào)制在載波頻率附近產(chǎn)生Φ（f）的復(fù)制品（可能有實(shí)數(shù)或虛數(shù)縮放因子）。因此，調(diào)制信號(hào)的帶寬等于Φ（f）帶寬的兩倍。但是Φ（f）的帶寬與消息信號(hào)的帶寬有什么關(guān)系呢？

對(duì)于PM，我們知道Φ（f）的帶寬與消息信號(hào)的帶寬相同（見方程式2）。另一方面，對(duì)于FM，?（t）是通過對(duì)消息信號(hào)進(jìn)行積分得到的（方程式3）。積分使時(shí)域信號(hào)平滑，或者換句話說，衰減其高頻。因此，Φ（f）的帶寬等于或小于消息信號(hào)的帶寬。

由于?（t）的最大帶寬為B，我們可以得出結(jié)論，窄帶角度調(diào)制信號(hào)的最大帶寬是2B。這與雙邊帶AM方案的最大帶寬相同。

窄帶角度調(diào)制信號(hào)產(chǎn)生電路

方程6的一個(gè)重要含義是，它提出了一種通過使用模擬乘法器和加法器來生成窄帶角度調(diào)制波的方法。該電路的框圖如圖6所示。

用于生成窄帶角度調(diào)制信號(hào)的電路框圖。

圖6 用于生成窄帶角度調(diào)制信號(hào)的電路框圖

在未來的文章中，我們將看到上述電路是生成寬帶角度調(diào)制信號(hào)的基本構(gòu)建塊。這是通過一種稱為窄帶到寬帶轉(zhuǎn)換的過程來實(shí)現(xiàn)的。

總結(jié)

角度調(diào)制，包括相位和頻率調(diào)制，在通信系統(tǒng)中起著至關(guān)重要的作用，也是分析振蕩器和頻率合成器等電路的關(guān)鍵。在這篇文章中，我們考慮了一個(gè)簡(jiǎn)單的消息頻譜，以深入了解窄帶角度調(diào)制產(chǎn)生的頻譜。正如我們所了解到的，這些頻譜接近消息帶寬的兩倍。在下一篇文章中，我們將通過探索單頻消息信號(hào)的窄帶調(diào)制來繼續(xù)討論。